魅力无穷的
不需要语言的几何证明

　　平面几何研究的是平面上的点、线、三角形、正方形、圆等几何对象，它是历史最悠久的数学分支之一，几何对后世的数学发展影响最大。在古希腊几何不是单纯的作为实用的工具，而是作为锻炼思考、启迪智慧的学问而存在。人们通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力。

　　欧几里得在他的不朽名作《几何原本》中提出了23个定义，五条公设和五条公理（欧几里得把公设看作是只在几何中正确的公理，如第一公设“由任一点至任一点可作一直线”，而公理则放之四海而皆准，如第二公理“等量加等量，和相等”，现代数学中不作这样的区分，都称为公理），然后试图只用这些定义、公设和公理来推导出整个几何学的定理。

　　证明是指在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准,由公理和定理推导出某些命题的过程。人们证明过程中，每步推理的依据就是学过的公理、定理、定义。

　　华罗庚曾有诗：

　　“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？
　　数缺形时少直观，形缺数时难入微。
　　数形结合百般好，隔离分家万事休。
　　几何代数统一体，永远联系莫分离。”

　　运用数形结合，将某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，这样就有助于学习数学。这里将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现。列举其中十分简洁和精彩的几种代数、几何、三角的证明，可以了解到真正的美丽数学证明不需要太多的言语。

　　平面几何的公理：

1。两点确定一条直线
2。两点之间线段最短
3。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4。过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5。平行公理(Parallel Axiom)：如果一条线段与两条线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

这个公设衍生出第一个定理“三内角和等于一百八十度”。

【定理1】三角形内角和为180°

〖证明1〗由此得到一个平角，由此得到三角形的内角和是180°

〖证明2〗过点 B 作射线 A*C*∥AC。
则 ∠A*BA＝∠A（两直线平行，内错角相等）
　 ∠C*BC＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠A*BA＋∠ABC＋∠C*BC＝180°（1平角＝180°）
∴ ∠A＋∠ABC＋∠C＝180°（等量代换）

〖证明3〗圆周角是对同弧的圆心角的—半。

【定理2】三角形面积等于底乘以高除以2。

【定理3】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

　　勾股定理的证明方法是最多，据说已超过500种。E·S·卢米斯(Loomis) 在他的《毕达哥拉斯定理》(The Pythagorean Proposition) 一书的第二版中，收集了这个著名定理的370种证法，并且进行了分类。该书1940年发表于 Edward Brothers 私人出版的 Ann. Arbor. Mich. 后又由 The National Council of Mathematics, Washington, D.C. 重印。
　　中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是公元三世纪初三国时期数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展。赵爽的“弦图”隐含了勾股定理的两种面积证法。赵爽用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，实在让人拍案叫绝。

〖证明1〗由“弦图”知，边长为 c 的正方形面积等于边长为 a＋b 的正方形面积减去4个两直角边为 a,b 的三角形面积，即 c²＝(a＋b)²－4·(1/2)ab＝a²＋b²


〖证明2〗



由“弦图”知，边长为 c 的正方形面积等于边长为 b－a 的正方形面积加上4个两直角边为 a,b 的三角形面积，即 c²＝(b－a)²＋4·(1/2)ab＝a²＋b²

赵爽的“弦图”证法优美精巧是证明勾股定理最著名的证法之一，特别是“弦图”一图蕴涵两种证法更是举世无双。“弦图”是证明勾股定理的无字证明，充分体现了我国古代的数学文明和数学文化，本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美，而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观，使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵。

〖证明3〗

〖证明4〗

〖证明5〗据说是意大利画家达·芬奇(da Vinci, 1452-1519) 发现的，用的是相减全等的证明法

〖证明6〗

〖证明7〗△ABC～△ACD～△CBD

〖证明8〗△ABC～△ACD～△CBD

〖证明9〗将 △ABC 各乘以 a,b,c, 然后再把这三个直角三角形合成一个矩形

【定理3】五角星形的顶角和是180°

【定理4】顶奌是（0，0），（2，1），（3，2），（1，1）的平行四边形的面积是1

【定理5】维维亚尼(Viviani) 定理：在等边三角形内任意一点 P 跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。
这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点 P 跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。

【定理6】三角形的面积是等于内切圆的半径乘以半周
　A＝1/2·r·(a＋b＋c)＝rs

【定理7】两个数的算术平均数恒大于其几何平均数。
　

【定理8】

【定理9】（托勒密定理）圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。


一个有趣的特殊情况是当 ABCD 是矩形我们得到的另一个毕达哥拉斯定理的证明。

【定理10】—个圆的两个垂直弦的四个线段平方和等于直径平方。

【定理11】

【定理12】1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n²
〖证明1〗

〖证明2〗

【定理13】

〖证明1〗

〖证明2〗


〖证明3〗

【定理14】1²＋2²＋3²＋ ... ＋n²＝1/3[n(n＋1)(n＋1/2)].

发现这个证明是香港大学的萧文强教授。

【定理15】
我国古代学者庄子(庄周，约公元前369-前286)是一个著名的思想家，在《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”讲的是这个定理。

【定理16】(－1)^n－11＋(－1)^n－23＋(－1)^n－35＋(－1)^n－47＋…＋(－1)⁰(2n－1)＝n。

发现这个证明是美国的数学家亚瑟·本杰明(Arthur T. Benjamin, 1961-），他专长在组合数学。自1989年以来，他一直是加州哈维·玛德学院(Harvey Mudd College) 的数学教授，而且是有名的数学魔术师。

【定理17】半角定理
（1）sin(x/2) cos(x/2)＝(1/2)sin x

（2）tanθ/2＝(1-cosθ)/sinθ

【定理18】余弦定理
〖证明1〗

〖证明2〗

【定理19】正弦余弦角和差定理

　　数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。读者可以参看罗杰·纳尔逊(Roger Nelson) 的 "Proof without Words" 三本精彩的好书，提升解题能力。

动脑筋想想看

1. 你可以看懂底下的证明吗？

2.
　利用下图可以容易轻松获解

3. 求 |x-1| ＋ |x-2| ＋ |x-3| ＋ |x-4| ＋ … ＋ |x-2017| 的最小值。

【参考文献】
1. Arthur T. Benjamin, Proof Without Words: Alternating Sums of Odd Numbers, Mathematics Magazine, vol. 78, no. 5 (December 2005), by The Mathematical Association of America.
2. W. Derrick, J. Herstein, Proof Without Words: Ptolemy's Theorem, The College Mathematics Journal, v 43, n 5, November 2012, p 386.
3. Ken-ichiroh Kawasaki. “Proof without Words: Viviani’s Theorem”. Mathematics Magazine , Vol. 78, No. 3 (Jun., 2005), p. 213.
4. Nelsen, R.?B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC:.
5. Avi SiglerRuti SegalMoshe Stupel, The standard proof, the elegant proof, and the proof without words of tasks in geometry, and their dynamic investigation, Journal, Volume 47, (2016) Issue 8, p.1226-1243.