因小见大会犯错

　　从事数学工作的人，他们许多的发现是基于观察一小部分的事实，然后大胆的臆测，最后小心地求证。

　　但是我想说的是自然界的老天爷往往爱和人们开玩笑，你所期望的东西或想法，偏不让你实现。

　　法国业余数学家费马(Pierre de Fermat，1606-1665)，他利用从事法律业余时间从事数论的研究，他有许多发现，以及猜测。比方说‘费马最后定理’“对于n≥3，xⁿ+yⁿ=zⁿ 没有正整数解。”经过二百多年人们的努力，这猜测最后被证明是正确的。

费马

　　他曾研究 2²ⁿ＋1 的问题，他观察到

• 2²⁰＋1 ＝ 3
  2²¹＋1 ＝ 7
  2²²＋1 ＝ 31
  2²³＋1 ＝ 257
  2²⁴＋1 ＝ 65537

这些都是素数，因此他认为 n≥5 之后 都会是素数。

　　可是10多年后，欧拉却找到反例

　　2²⁵＋1 ＝ 2³²＋1 ＝ 641×6700417

　　人们发现 6≤n≤20，每个都是合数。 2²²⁰＋1 是非常大的一个数，检验它是否素数是很艰难的事，1988年杰·杨{Jeff Young) 与丹肯·布伊(Duncan A. Buell) 在《数学计算》杂志上发表借助电子计算机的帮助证明了“第二十个费马数是合数”的定理。

　　与费马同期从事数论研究的法国神父麦爽(M.Mersenne,1588-1648) 曾观察

• 2²－1 ＝ 3
  2³－1 ＝ 7
  2⁵－1 ＝ 31
  2⁷－1 ＝ 127

2ⁿ－1 在 n＝2，3，5，7 是素数时会是素数，因此人们认为由于素数的个数有无穷多，因此像这类的麦爽素数也会是无穷多。

麦爽和麦爽邮票

可是不幸在 n＝11 时发现

　　2¹¹－1 ＝ 23×89 是合数

　　2017年知道最大的麦爽素数是 2^27232971－1，这数由长达23,249,425个数字组成，在2017年圣诞节前夜被证实是素数。发现者名叫乔纳登·佩斯(Jonathan Pace)，他寻找麦爽素数14年。2018年12月21日，比上次多五十万数字的 2^82589933－1 被帕特里克·拉罗什(Patrick Laroche) 发现。帕特里克·拉罗什自愿提供的一台计算机于2018年12月7日找到了这一发现。帕特里克(Patrick) 是数千名使用免费 GIMPS 软件的志愿者之一。拉罗什是一位35岁的 IT 专业人员，住在佛罗里达州奥卡拉。多年来，Patrick 一直使用 GIMPS 软件作为其计算机构建的免费“压力测试”。最近，他开始在媒体服务器上进行寻觅，以“回馈”该项目。在不到4个月的时间里，他只是第四次尝试，便发现了新的质数。通过比较，一些 GIMPS 参与者已经搜索了20多年，尝试了成千上万次，但没有成功。因此证明即使是“小人物”也可以与拥有大量计算资源的人竞争。

　　我们知道的麦爽素数并不多，是否有无穷多的麦爽素数是悬而未决的难题。

　　素数可以分两大数 4k-1 及 4k-3：

　　4k-1 的素数有3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, ……
　　4k-3 的素数有5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, ……

　　人们发现一般在 [1,n]={1, 2, ……, n} 里的集合中 4n-1 类型的素数出现比 4n-3 的多。

例如在 [1,130]里我们有这样的现象：

　　4k-1 ：3 7 11 19 23 33 43 47 59 67 79 83 103 107 127
　　4k-3 ：5 13 17 29 37 41 53 61 73 89 97 101 109 113

很明显的 4k-1 的素数一直都比 4k-3 的素数个数多。

　　是否这现象永远是对呢？1914年英国剑桥大学的李特渥特(J.E.Littlewood,1885-1977) 在法国杂志证明 4k-1 和 4k-3 的素数个数谁大谁小的胜负交叉出现，这现象是有无穷多出现。

李特渥特

　　数论或自然数及其性质的研究，通常涉及素数。许多数学家对素数着迷，因为它们有许多令人感到迷惑的性质。这里我再举一个看来奇妙的性质：

• 31 是素数
  331 是素数
  3331 是素数
  33331 是素数
  333331 是素数
  3333331 是素数
  33333331 是素数

　　因此很自然地有人会猜测一个前面有8个3再加上后面一个1的数也该是素数。

　　很可惜它是合数！

　　333333331=17×19607843

　　n 阶乘是指这样的数：

　　n! = 1×2×3×4×……×(n-1)×n

　　人们发现底下金字塔型的阶乘和交叉加减会得素数

• 3!－2!＋1! ＝ 5
  4!－3!＋2!－1! ＝ 19
  5!－4!＋3!－2!＋1! ＝ 101
  6!－5!＋4!－3!＋2!－1! ＝ 619
  7!－6!＋5!－4!＋3!－2!＋1! ＝ 4421

　　你再试下一个也发现

　　8!－7!＋6!－5!＋4!－3!＋2!－1! ＝ 25899

35899是素数。

　　因此很自然地你会猜想这是对所有的 n≥8 都成立。可是不幸在 n=9 时，我们有

　　9!－8!＋7!－6!＋5!－4!＋3!－2!＋1! ＝ 79×4139

是合数。

阿尔丰·德·波里尼西克的错误

　　法国数学家阿尔丰·德·波里尼西克（Alphonse de Polignac，1826-1863）是双生素数猜想的提出者。在1849年，即他被巴黎综合理工大学（法语：Εcole Polytechnique）录取的那一年，他做出了所谓的波里尼西克猜想：对于每个正整数 k，都有无限多个 2k 的质数间隙。k = 1 的情况是孪生素数猜想。他的父亲朱耳斯·德·波利尼西克(Jules de Polignac，1780-1847年) 担任查理十世(Charles X) 的总理，直到波旁王朝被推翻为止（1830年）。关于他的信息很少，除了他是法国理工学院的校友并在法国炮兵中担任副官。

波利尼西克和他的素数论书

　　他认为存在无穷多组的双生素数，像（3,5），（5,7），（11,13），（17,19），（29,31），……

　　这猜想到现在还没有人证明。大家都熟悉哥德巴赫猜想：

　　孪生素数猜想与哥德巴赫猜想一道，是数学学科中最著名的数论，由于您自小学起就已经知道这些数字，因此陈述这些猜测很容易。

　　当两个素数之差为2时，它们称为孪生素数。因此11和13是孪生素数，而599和601都是孪生数。现在数论事实表明，存在无限多个素数。那么，有无限多个孪生素数吗？

　　孪生素数猜想是肯定的。在1900年的国际数学家大会上，希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。

　　让我们更深入一点。一对孪生素数中的第一个素数总是比6的倍数小1。因此，第二个孪生素数总是比6的倍数大1。您可以理解为什么，如果您准备好遵循一些数论。2之后的所有素数都是奇数。偶数始终比6的倍数大0、2或4，而奇数总是比6的倍数大1、3或5。好吧，这三种奇数可能性之一引起了问题。如果数字3大于6的倍数，则其系数为3。系数为3表示数字不是素数（唯一的3例外）。这就是为什么每个第三个奇数都不是素数的原因。

　　在过去的170年中，每个试图解决此问题的人都为之头痛。好消息是，过去十年来我们取得了可喜的进展。数学家已经设法解决越来越接近的孪生素数猜想。这就是他们的想法：难于证明有无限多个素数相差2？如何证明有无数个质数相差70,000,000的质数。2013年，新罕布什尔大学(University of New Hampshire) 的张益唐巧妙地证明了这一点。张益唐的论文，投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。这篇论文名为 Bounded gaps between primes(《素数间的有界间隔》)，他是用我的同事丹尼尔·哥德斯顿(Daniel Goldston)，和他的二个合作者 Pintz 和 Yildirim 的结果。

丹尼尔·哥德斯顿和张益唐

　　张益唐的论文在2013年5月14号面世，两个星期后的5月28号，这个常数下降到了6000万。仅仅过了两天的5月31号，下降到了4200万。又过了三天的6月2号，则是1300万。次日，500万。6月5号，40万，不到原来的百分之一。剩下的只有区区的25万。张的结果出现六个月后，在牛津大学获得博士学位的詹姆士·梅纳德(James Maynard) 将差距缩小到600。也就是说，他证明存在无限多的素数对集合，它们相差最多600。此后已减少到246。他的成果让孪生素数猜想证明又前进了一步。

　　在过去的六年中，数学家一直在用张的证明来提高这个数字，从数百万减少到数百，将其降低到2将是孪生素数猜想的解决。张益唐的结果影响力甚至可能超过陈景润在哥德巴赫猜想方面所做的工作。

　　阿尔丰·德·波里尼西克还提出另外一个猜想：任意大于1的奇数，可以表示为2的幂次方及一个素数的和：

　　他在1848年提出的虚假讯，声称他已经验证了多达万个猜想。这显然是一种夸张，因为对于较小的数这个猜想不对了。

　　人们发现在 149，251，331，337，373，509，877，波里尼西克的猜想不对。

　　1848年，他给另外一个猜想：所有大于1小于3,000,000的奇数都可表示几个2次幂数和一个素数的和。

　　1971年，克罗撤(R.Crocher) 在《太平洋数学杂志》(Pacific Journel of Mathematics) 证明存在无穷多的反例。

　　1992年在《科学美国人》杂志上，约翰·韦勒(John Wheeler) 说：“当我们的知识岛屿面积扩大时，我们无知的海岸线就增长。”这真是真知灼见，一语道尽我们在数学世界上的无知和无奈的无能为力。

〖附录〗

小于10,000的孪生素数